Đọc để biết về đại lượng vô cùng nhỏ hình thành và phát triển như thế nào, từ đó biết được động cơ của sự hình thành và phát triển phương pháp tính hiện đại ngày nay ta vẫn học và dùng.
Bài viết này trích dịch từ bài báo mang tên A Brief History of Infinitesimals: The Idea That Gave Birth to Modern Calculus của Amir Alexander.
Vào một thời điểm nào đó của thế kỷ thứ 5 trước công nguyên (TCN), nhà triết học người Hy Lạp Hippasus của xứ Metapontum, một trong những thành viên Hội ái hữu Pythagorean (Pythagorean brotherhood), rời nhà của mình ở miền nam nước Ý và lên một chiếc thuyền chuẩn bị dong khơi ra biển. Chúng ta không biết tại sao ông lại lên con thuyền ấy và ông sẽ đi chu du nơi đâu nhưng chúng ta biết chắc chắn là ông đã không đến được đâu cả. Truyền thuyết kể rằng, khi con thuyền dong buồm ra khơi và cách xa đất liền, Hippasus đã bị tấn công bởi những thành viên khác trong hội ái hữu và bị ném xuống biển mãi mãi.
Cần biết rằng Hội ái hữu Pythagorean là hội những người theo học thuyết Pythagore và thấm nhuần tư tưởng của vị hiền triết Hy Lạp này. Một trong những tư tưởng chủ đạo của Pythagore chính là mọi thứ trong thế giới này đều phải được mô tả bởi các số nguyên cũng như các tỷ số của chúng. Tuy nhiên Hippasus lại không nghĩ vậy khi ông chỉ ra rằng có rất nhiều hình vuông mà đường chéo của chúng không thể đem so sánh với cạnh tương ứng. Hay theo cách hiểu của chúng ta ngày nay, căn bậc hai của 22 là một số vô tỷ (không thể chia được). Điều đó có nghĩa rằng không cần biết bạn chia đường chéo hay cạnh hình vuông ra làm bao nhiêu phần thì mãi mãi chúng vẫn không thể chia cho nhau để tạo thành các số hữu tỷ được.
Phát hiện của Hippasus đã gián một đòn mạnh vào các chương trình toán học phương Tây thời đó. Một mặt nó khẳng định chắc chắn rằng sẽ tồn tại các tỷ số mà không phải là một số hữu tỷ. Mặc khác, nó chỉ ra rằng đường thẳng không thể được mô tả như là một chuỗi các điểm nhỏ xíu được kết hợp với nhau, hoặc những điểm này sẽ đóng vai trò như là các đơn vị đo chung cho mọi đại lượng về độ lớn. Những con số cũng như những điểm rời rạc sẽ không bao giờ có đủ khả năng miêu tả thế giới liên tục xung quanh như các đường thẳng hay bề mặt các mặt phẳng. Tuy nhiên trong thế giới toán học thời ấy, chỉ có duy nhất một môn khoa học được chấp nhận, đó chính là Hình học. Hình học là hiện thân chung cho tất cả các mối quan hệ của các đại lượng, kể cả liên tục, trong thực tế.
Hơn 2 thiên niên kỷ tiếp theo, ý tưởng của Hippasus vẫn bị vùi dập bởi Hình học. Cho đến thế kỷ thứ 16 và 17 sau công nguyên, một thế hệ mới các nhà toán học người Hà Lan (Simon Stevin), Anh (Thomas Harriot, John Wallis) và đặc biệt là Ý (Bonaventura Cavalieri, Evangelista Torricelli) bắt đầu thử tìm sự khác biệt giữa những điểm rời rạc và các đại lượng liên tục như đường thẳng, mặt phẳng, khối lập thể. Điều gì sẽ xảy ra nếu như các đường thẳng là tập hợp của những điểm với kích thước nhỏ vô tận (vô cùng bé)? Còn mặt phẳng là tập hợp của vô tận các đường thẳng như thế kế cận nhau? Hình khối thì là vô tận các mặt như vậy xếp chồng lên nhau?
Kết quả là họ đã giải quyết được rất nhiều bài toán hóc búa như tính được chiều dài của các đường cong bất kỳ, tìm được độ nghiêng của chúng cũng như tính được diện tích của các mặt phẳng và thể tích của các hình khối. Những điều này là không thể làm được nếu như vẫn áp dụng các kiến thức toán học Hình học xưa cũ.
Đến những năm 1700, hai nhà toán học lỗi lạc là Isaac Newton và Gottfried Leibniz đã chuyển thể những ý tưởng về vô cùng bé trên thành một thuật toán mạnh mẽ mà ngày nay chúng ta vẫn biết tới với cái tên Phương pháp tính (Calculus). Sức mạnh của nó là có thể khảo sát hầu như mọi chuyển động trong tự nhiên, từ quỹ đạo của các hành tinh, đến sự rung động của một chiếc nhẫn hay đường bay của một quả đạn pháo.
Những người tiên phong trong việc vận dụng các kiến thức về vô cùng bé hiểu rõ rằng các phương pháp của họ đang dựa trên những cơ sở không chắc chắn về mặt logic. Tuy nhiên họ đã lờ đi tất cả những mập mờ đó. Cho tới khi nào các phương pháp của họ cho ra các kết quả đúng và đẹp trong thực tế thì cho đến lúc đó, họ vẫn chưa sai! Tuy nhiên có rất nhiều người không đồng tình với quan điểm này. Điển hình là từ các linh mục dòng Tên người Ý đến nhà triết học Bishop George Berkeley người Anh đã cáo buộc rằng ý tưởng vô cùng bé đang làm suy yếu và giết chết Toán học. Điều ấy là chưa kể nó có thể dẫn đến những sai lầm nghiêm trọng trong tương lai. Thế là cuộc tranh cãi về vô cùng bé nổ ra.
Mâu thuẫn chỉ lắng dịu vào đầu thế kỷ 19 khi rơi vào tay nhà toán học người Pháp, Augustin-Louis Cauchy. Ông nhận ra rằng, vấn đề với lĩnh vực toán học mới này chỉ phát sinh khi người ta lúc nào cũng quan niệm là phải có sự gắn kết giữa toán học và thực tại vật chất. Mà điều này đã từng được Hippasus chứng minh là không phải lúc nào cũng đúng. Trong giáo trình Giải tích xuất bản năm 1821 của mình, Cauchy đã xây dựng lại Phương pháp tính (Calculus) mà không dựa vào ý tưởng “đường thẳng là tập hợp của vô hạn các điểm vô cùng nhỏ”. Ông định nghĩa một cách chặt chẽ các khái niệm cốt lõi của “Đạo hàm” và “Tích phân” trong giới hạn của các chuỗi vô hạn và không có bất kỳ sự liên hệ thực tế nào trong việc tìm độ dốc của đường cong hay diện tích của mặt phẳng.
Bằng việc chuyển dời từ Phương pháp tính (Calculus) sang một hệ thống toán học chặt chẽ khác, Cauchy đã kết thúc mâu thuẫn kéo dài hơn hai thiên niên kỷ. Vào thế kỷ thứ 5 TCN, Hippasus nói rằng toán học sẽ không bao giờ có thể miêu tả một cách trọn vẹn thế giới vật chất. Thì đến thế kỷ 19 SCN, Cauchy chứng minh rằng, Toán học không có bổn phận phải làm điều đó: nó vẫn sẽ tồn tài, vẫn phát triển và giải phóng khỏi những xiền xích của thực tại vật chất. Một nền toán học hiện đại ra đời.
